Esame 2007:

Calcolo albero di un verricello 

Traccia.

Il tamburo di un verricello ad asse orizzontale, sul quale si avvolge una fune metallica, presenta un diametro pari a 300 mm e una lunghezza di 600 mm; esso è realizzato con due dischi, saldati sull’albero e con un tamburo cilindrico saldato su essi. L’albero, che risulta essere solidale al tamburo, è sostenuto da due supporti con l’interposizione di cuscinetti a strisciamento e presenta un’estremità per il collegamento al gruppo riduttore.

Facendo riferimento ad a un carico massimo di sollevamento pari a 20 kN, il candidato, dopo aver

scelto con giustificati criteri tutti i dati occorrenti, esegua:

a) il dimensionamento dell’albero e dei perni relativi ai supporti, limitando la pressione specifica a valori compatibili     con i materiali utilizzati;

b) il disegno di fabbricazione dell’albero, completo di tolleranze e gradi di rugosità superficiali;

c) il ciclo di lavorazione dell’albero.

Ipotesi di soluzione

Si inizia con l'assegnare  la lunghezza dell'albero e la posizione del tamburo su di esso.

Figura 1 : Schema costruttivo

In figura 1 è disegnato lo schema costruttivo scelto,  si ipotizza un albero lungo 900 mm, uno spessore dei dischi del tamburo di 20 mm ed una distanza tra i supporti di 700 mm.

Premessa

Nella traccia è riportato che il mantello del tamburo è saldato ai dischi laterali e questi a loro volta sono saldati all'albero, da ciò discende che la struttura  mantello-dischi-albero è più volte iperstatica.

Figura 2 : Andamento momenti torcenti

Il momento motore M_t è applicato nella sezione 1 e si trasmette alla sezione di applicazione del carico per mezzo dell'albero e del mantello.

Lla figura 2 schematizza quanto detto, si noti come nella sezione B  M_t si divide in due momenti M₁ ed M_2,  il momento M₁ agisce sul disco di sinistra e parte del mantello mentre  M₂  agisce sull'albero, sull'altro disco e sulla restante parte del mantello.

Per il dimensionamento dell'albero è necessario conoscere l'intensità dei due momenti, ma questo non risulta agevole da ricavare a causa della iperstaticità della struttura; per  il calcolo è necessario valutare le deformazioni che essi producono sui dischi, sul mantello e sulla parte di albero che si trova tra i due dischi.

Figura 3 : Deformazioni

Le deformazioni angolari prodotte dai momenti applicati dovranno soddisfare la relazione

Da quanto scritto si deduce la difficoltà di calcolo di M₁ ed M₂.  

É necessario fare delle semplificazioni:

si considerano i dischi non saldati all'albero, la trasmissione del moto avviene mediante uno o due linguette,
la struttura dischi- mantello viene considerata  rigida.

Si ipotizza che il momento motore sia trasmesso dall'albero al mantello dal solo disco di destra, calettato nella sezione C, che sarà schematizzato con una cerniera, il collegamento sull'albero del disco di sinistra si schematizzerà con un carrello.

Con questa ipotesi il momento motore agirà su tutto l'albero dalla sezione 1 alla sezione C.

Figura 4 : Andamento momento motore

Calcolo momento motore

Il momento motore applicato deve essere uguale a quello resistente (determinato dal carico applicato sulla fune) che, tenendo conto del diametro D del tamburo, è:

Schematizzazione e calcolo reazioni vincolari

Da quanto scritto in premessa si ricava una prima schematizzazione  riportata in figura 4.

Figura 5 : Schematizzazione

Si deve comunque tenere presente che la fune che regge il carico non è sempre a metà tamburo, essa invece si sposta su di esso assumendo tutte le posizioni tra le sezioni B e C (come evidenziato nelle figure 5 A e 5B).

Figura 5A:                                                                          Figura 5B

Per il dimensionamento dell'albero si deve individuare  quale dei casi possibili impone le sollecitazoini maggiori.

Caso 1:  forza applicata al centro del tratto BC

La forza  F = 20 kN  è applicata nel punto medio della trave, le reazioni  (verticali)  dei vincoli posti in B e C sono uguali per cui si ha: 

R_B = 10 kN     R_C = 10 kN

queste forze si scaricano sull'albero come riportato in figura 6

Figura 6:  carico agente al centro di BC

 Le reazioni (verticali) dei vincoli A e B, per la simmetria del sistema, sono  uguali e precisamente:

 R_A = 10 kN     R_D = 10 kN

Figura 6A:  Taglio                                                 Figura6B: Momento flettente

Il momento flettente massimo si ha nel tratto BC e vale M_f = 600 kNmm

Caso 2:  forza applicata nella sezione C

Se la forza  F = 20 kN  è applicata nel punto C, le reazioni  (verticali)  dei vincoli posti in A e B sono rispettivamente: 

R_B = 0 kN     R_C = 20 kN

per cui lo schema di calcolo dell'albero è quello riportato in figura 7:

Figura 7: carico agente nella sezione C

 Le reazioni (verticali) dei vincoli A e B, con semplici calcoli , sono:

 R_A = 1,71 kN     R_D = 18,29 kN

Figura 7A:  Taglio                                                 Figura 7B: Momento flettente

Il momento flettente massimo si ha nella sezione C e vale M_f =  1097,14 kNmm

 Caso 3:  forza applicata nella sezione B

Se la forza  F = 20 kN  è applicata nel punto C, le reazioni  (verticali)  dei vincoli posti in A e B sono rispettivamente: 

R_B = 0 kN     R_C = 20 kN

per cui lo schema di calcolo dell'albero è quello riportato in figura 7:

Figura 8: carico agente nella sezione B

 Le reazioni (verticali) dei vincoli A e B, con semplici calcoli , sono:

 R_A = 18,29 kN     R_D = 1,71 kN

Figura 8A:  Taglio                                                 Figura 8B: Momento flettente

Il momento flettente massimo si ha nella sezione B e vale M_f =  1097,14 kNmm

Scelta materiale

Si sceglie come materiale un acciaio al carbonio, e precisamente uno C 40 bonificato avente tensione di rottura     e tensione di snervamento   .

Ipotizzando un coefficiente di sicurezza e considerando come tensione limite quella di snervamento si ha:

Calcolo diametri minini

Sezione C

Per la valutazione del diametro da assegnare alla sezione sarà utilizzato  il criterio di Von Mises:

L'albero non è sotto posto a flessione e a torsione, con le oppotune sostituzione la tensione ideale è:

Applicando la equazione di stabilità:

si ha

da cui

sostituendo i valori ai simboli si ha:

con gli opprtuni calcoli si ricava il valore minimo da assegnare al diametro; ottenendo

 Tratto 1-A

Nel tratto 1 - A e nella sezione D agisce solo il  momento torcente M_t.

La sollecitazione ammissibile sarà   

imponendo:

si ha:

da cui

Il diametro in queste sezioni deve essere almeno:

Scelta diametri

Nella sezione 1 è applicato un giunto per cui in essa è prevista una linguetta, dalla tabella UNI si ricavano le dimensioni da assegnare:

b x h= 16 x 10 mm.

con una lunghezza l compresa tra 45 e 180 mm

Le dimensioni della cava da ricavare sull'albero sono

b x h₁= 16 x 6 mm.

Per avere una sezione resistente dell'albero sia pari almeno a 50 mm si sceglie un diametro D =56 mm.

La lunghezza della linguetta deve soddisfare la relazione

Dove

M_t è il momento torcente,
D è il diametro dell'albero,
h è la altezza della linguetta
p_am è la pressione ammissibile

Si considera una linguetta in acciaio per cui dovrà essere :      

Si pone                                                                                 

si ha :

La lunghezza è superiore a 180 mm, è necessario l'uso di due linguetta, desiderando mantenere per l'albero una sezione resistente con un diametro almeno pari a 50 mm si sceglie un albero di diametro D = 64 mm

in questo caso la linguetta ha dimensioni

b x h= 18 x 11 mm.

con una lunghezza l compresa tra 50 e 200 mm

mentre le dimensioni della cava da ricavare sull'albero sono

b x h₁= 18 x 7 mm.

La lunghezza di una linguetta deve essere:

Che si ripartisce su due linguette avente ognuno l = 100 mm

Il cuscinetto nella sezione A dovra essere maggiore di 64 mm per permettere un agevole posizionamento

dalle dimensioni dei cuscinetti si sceglie un diametro D= 70 mm

Scelta lunghezza Perno

Ipotizzando il cuscinetto si fatto  in Bronzo al piombo  dal manuale di meccanica si ipotizza una pressione specifica ammissibile:

Ricordando che deve essere verificata la relazione

dove F è la foprza applicata, ovvero la reazione vincolare  18.290 N, d il diametro interno della boccola,in questo 50 mm ed l è la lunghezza del cuscinetto.

Si può ricavale la lunghezza minima:

Si sceglie un un cuscinetto con una lunghezza di 40 mm.

Figura 9:  Cuscinetto di strisciamento

 Le dimensioni del perno sul quale calettare il cuscinetto dovranno essere maggioi di 40 mm, tenendo conto anche dello smusso necessario per il calettamento si sceglie una lunghezza di 50 mm.

In figura 10 è riportato l'albero con le varie dimensioni.

 Figura 10:  Albero

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